こばのページ/東大入試数学過去問解答例/2012 年度理科 第 4 問

問題

$n$ を 2 以上の整数とする。自然数 (1 以上の整数) の $n$ 乗になる数を $n$ 乗数と呼ぶことにする。以下の問いに答えよ。

(1) 連続する 2 個の自然数の積は $n$ 乗数でないことを示せ。

(2) 連続する $n$ 個の自然数の積は $n$ 乗数でないことを示せ。

解答

(1)

任意に 1 以上の整数 $b$ をとったとき、 $b(b+1)$ が $n$ 乗数でないことを示せば良い。仮に $b(b+1) = c^n$ である正の整数 $c$ が存在したとして矛盾を示そう。

$b$ と $b+1$ は互いに素である。そのため $b$ も $b+1$ も $n$ 乗数である。

• $c$ の素因数 $p$ を任意にとる。 $p$ は $b$ と $b+1$ の少なくとも一方を割り切る。 $b$ が $p$ の倍数の場合 $b+1$ は $p$ の倍数ではない。(そうでなければ $1 = (b+1) - b$ が $p$ の倍数であり矛盾。) $b + 1$ が $p$ の倍数の場合 $b$ は $p$ の倍数ではない。よって $c$ の素因数分解に $p^e$ が現れるとすると $b$ と $b+1$ のうち片方が $p^{en}$ で割り切れ、もう片方が $p$ で割り切れない。
• 上の理屈から $b$ も $b+1$ も素因数分解の指数がすべて $n$ の倍数なので、 $n$ 乗数である。

$b=x^n, b+1=y^n$ である正の整数 $x, y$ が存在する。 $b<b+1$ なので $x < y$ である。このとき $1 = (b + 1) - b = y^n - x^n \ge (x+1)^n - x^n \ge nx^{n-1} \ge n > 1$ であり、矛盾する。

(2)

任意に 1 以上の整数 $b$ をとったとき、 $b(b+1)\cdots(b+n-1)$ が $n$ 乗数でないことを示せば良い。仮に $b(b+1)\cdots(b+n-1) = c^n$ である正の整数 $c$ が存在したとして矛盾を示そう。

明らかに $b^n < b(b+1)\cdots(b+n-1) < (b+n-1)^n$ が成り立つので、 $n$ 乗する写像の (正の実数における) 単調性から $b < c < b+n-1$ が成り立つ。

ここで、 $b < c+1 \le b+n-1$ に着目すると、 $c^n = b(b+1)\cdots(b+n-1)$ は $c+1$ の倍数である。 $c^n = (c+1)(c^{n-1} - c^{n-2} +-\cdots + (-1)^{n-1}) + (-1)^n$ から、 $(-1)^n$ も $c+1$ の倍数である。しかし $c$ は正の整数だったのだから $c+1 \ge 2$ であり矛盾。