関数
\[f(x)=\frac{x}{\sin x}+\cos x \quad (0<x<\pi)\]の増減表をつくり，$x\to+0$，$x\to\pi-0$のときの極限を調べよ。
\[f'(x) = \frac{\sin x-x\cos x}{\sin^2 x} - \sin x\]\[f'(x) = \frac{\sin x-x\cos x}{\sin^2 x} - \sin x = \dfrac{\cos x}{\sin^2 x} (\sin x\cos x - x)\]というのはすぐに計算できる。これを解く手立てがなくて途方に暮れるが、 $x = \pi/2$ を代入してみるとうまいこと $0$ になることがわかる。
$x \gt \pi/2$ のときは $\cos x \lt 0$ なので $f’(x) \gt \dfrac{1}{\sin x} - \sin x \gt 0$ というのが簡単にわかる。つまり強増加だ。
$x \lt \pi/2$ のときは難しい。$\dfrac{1}{\sin x} - \sin x \gt 0 = \dfrac{1-\sin^2 x}{\sin x} = \dfrac{\cos^2 x}{\sin x}$ に気付くと $f’(x) = \dfrac{\sin x\cos^2 x-x\cos x}{\sin^2 x} = \dfrac{\cos x}{\sin^2 x} (\sin x\cos x - x)$ だが、 $\sin x\cos x - x = \dfrac{\sin 2x - 2x}{2} \lt 0$ というのが分かると $f’(x)$ も負だ。だから強減少だろう。
極限については、普通にやると $x\to+0$ のとき $1+1=2$ で、 $x\to\pi-0$ のとき $+\infty$ である。
ここで、 $\sin x\cos x - x = \dfrac{\sin 2x - 2x}{2} \lt 0$ ($x \gt 0$)， $\sin^2 x \gt 0$ ($0 \lt x \lt \pi$) に注意すると、 $f’(x)$ の符号と $\cos x$ の符号は正反対である。
$\cos x$ が $0 \lt x \lt \pi/2$ のとき正、 $x = \pi/2$ のとき $0$、 $\pi/2 \lt x \lt \pi$ のとき負であることに注意すると、 増減表は以下のようになる。
\[\begin{array}{c|ccccc} x & (+0) & & \dfrac{\pi}{2} & & (\pi-0) \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ f(x) & 2 & \searrow & \dfrac{\pi}{2} & \nearrow & +\infty \end{array}\]極限は
\[\lim_{x\to+0}f(x)=2,\qquad \lim_{x\to\pi-0}f(x)=+\infty\]である。
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