数列$a_1, \, a_2, \, \ldots$を
\[a _ n=\dfrac{ {} _{2n+1}C_n}{n \, !} \quad (n=1, \, 2, \, \ldots)\]で定める。
(1) $n \geqq 2$とする。 $\displaystyle\frac{a_n}{a_{n-1}}$を 既約分数$\displaystyle\frac{q_n}{p_n}$として表したときの 分母$p_n\geqq1$と分子$q_n$を求めよ。
(2) $a_n$が整数となる$n\geqq1$をすべて求めよ。
計算すると $a_{n+1}/a_n = \dfrac{2(2n+1)}{n(n+1)}$ になる。 $n(n+1)$ は常に偶数なので、いかにも $p _ n = n(n+1)/2, q _ n = 2n+1$ となりそう。
あとは $n(n+1)/2$ と $2n+1$ が互いに素であることを示せば良い。多項式の除算でも勘でもよいので $(2n+1)^2 - n(n+1)/2 \cdot 8 = 1$ に気付きたい。
Tweet最初の数項を計算すると $a _ 1 = 3, a _ 2 = 5, a _ 3 = \dfrac{35}{6}, \ldots$ となる。
$q_n$ は常に奇数だったのだから、一旦分母が偶数になると以降はずっと偶数のままであり、挽回する方法はない。よって $a _ 1,a _ 2$ だけが整数。