$a>0$とし，
\[f(x)=x^3-3a^2x\]とおく。次の2条件をみたす点$(a, \, b)$の動きうる範囲を求め，座標平面上に図示せよ。
条件１：方程式$f(x)=b$は相異なる3実数解をもつ。
条件２：さらに，方程式$f(x)=b$の解を
$\alpha<\beta<\gamma$とすると$\beta>1$である。
$f$ は3次の係数が正なので、
/\/という形になるはず。
$f’(x) = 3x^2-3a^2$ であるから、 $f’(x) = 0 \Leftrightarrow x = a \lor x =-a$ が成り立つ。
方程式が相異なる3実数解をもつ条件は
\[f(a)<b<f(-a)\]であり，このとき $-a<\beta<a$ である。
ただし，$\beta$ は $-a<\beta<a$ を満たすので，$\beta>1$ となるためには $a>1$ が必要である。
$a>1$ のとき，$1$ は $(-a,a)$ に含まれ，この区間で $f$ は単調減少する。したがって，
\[\beta>1 \Longleftrightarrow f(\beta)<f(1) \Longleftrightarrow b<f(1)\]である。
ここで
\[f(a)=-2a^3, \qquad f(1)=1-3a^2\]だから，求める範囲は
\[a>1 \land -2a^3<b<1-3a^2\]である。
したがって，$a>1$ の部分で，曲線 $b=-2a^3$ の上側かつ曲線 $b=1-3a^2$ の下側の領域である。両曲線および直線 $a=1$ は含まれない。