$n$を1以上の整数とする。
(1) $n^2+1$と$5n^2+9$の最大公約数$d_n$を求めよ。
(2) $(n^2+1)(5n^2+9)$は整数の2乗にならないことを示せ。
$(5n^2+9) - 5(n^2+1) = 4$ だから $d_n$ は $4$ の約数だ。$n$ の偶奇に合わせて $1$ か $2$ とか $1$ か $4$ とかになりそうな気がする。
具体例を入れよう。 $n=1$ の時は 2 と 14 なので，最大公約数は $d_1 = 2$ だ。だから $n$ が奇数の時はきっと 2 だろう。
$b$ が $a$ の倍数であることを $a \mid b$ と表記する。
$d_n \mid n^2 + 1, d _ n \mid 5n^2 + 9, (5n^2+9) - 5(n^2+1) = 4$ から， $d _ n \mid 4$ が言える。このため、 $d _ n$ は $1,2,4$ のいずれかである。
$n$ が偶数のとき $n^2+1$ は奇数なので，$d_n$ は $4$ の奇数の約数であり，$d_n=1$ である。
$n$ が奇数のとき $n^2+1,5n^2+9$ はともに $2$ の倍数だが $4$ の倍数ではない。なぜなら、 $n=2k+1$ とおけば、
\[n^2+1 = 4k^2 + 4k + 2 = 2(2k^2 + 2k+1)\] \[5n^2+9 = 20k^2 + 20k + 14 = 2(10k^2 + 10k + 7)\]であるためだ。よって $d _ n \ge 2$ であり， $d _ n \neq 4$ であるため $d _ n = 2$ である。
以上をまとめると，
\[d_n=\begin{cases}1&(n\text{ が偶数のとき}),\\2&(n\text{ が奇数のとき}).\end{cases}\]$n$ が偶数のとき，$n^2+1$ と $5n^2+9$ は互いに素である。もしその積が平方数なら，互いに素であることから $n^2+1$ も平方数となる。しかし
\[n^2<n^2+1<(n+1)^2\]なので矛盾する。
$n$ が奇数のとき，$d_n=2$ より
\[\gcd\left(\frac{n^2+1}{2},\frac{5n^2+9}{2}\right)=1.\]もし積が平方数なら，互いに素であることから $(5n^2+9)/2$ は平方数である。$(5n^2+9)/2=m^2$ とおくと，$5$ を法として
\[2m^2\equiv4\pmod5,\]すなわち $m^2\equiv2\pmod5$ となるが，これは不可能である。
以上より，$(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の2乗にならない。
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