座標平面上で，放物線 $C: y = ax^2 + bx + c$ が 2 点 $P(\cos \theta, \sin \theta), Q(-\cos \theta, \sin \theta)$ を通り，点 P と点 Q のそれぞれにおいて円 $x^2 + y^2 = 1$ と共通の接線を持っている。 ただし， $0\degree < \theta <90\degree$ とする。
(1) $a, b, c$ を $s = \sin\theta$ を用いて表せ。
(2) 放物線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $A$ を $s$ を用いて表せ。
(3) $A \geqq \sqrt{3}$ を示せ。
どうせ左右対称なのだから $b = 0$ のはず。
点 P において放物線の接線の傾きは $2a \cos\theta + b$ であり，点 Q においては $-2a \cos\theta + b$ である。点 P において円の接線の傾きは $-\cos \theta/\sin\theta$ であり，点 Q においては $\cos \theta/\sin\theta$ である。よって以下の連立方程式が立つ。
\[\begin{equation*} \left\{ \, \begin{aligned} & 2a \cos\theta + b = -\frac{\cos \theta}{\sin\theta} \\ & -2a \cos\theta + b = \frac{\cos \theta}{\sin\theta} \end{aligned} \right. \end{equation*}\]辺々足すと $2b = 0$ となるので $b=0$ である。また
\[a = -\frac{1}{2\sin\theta}\]である。
$(\pm\cos\theta,\sin\theta)$ が $y=ax^2+c$ を通るので，
\[\sin\theta=-\frac{\cos^2\theta}{2\sin\theta}+c\]が成り立つので，
\[c = \sin\theta + \frac{\cos^2\theta}{2\sin\theta} = \frac{1+\sin^2\theta}{2\sin\theta}\]が成り立つ。以上から，
\[a = -\frac{1}{2s},\ b = 0,\ c = \frac{1+s^2}{2s}\]である。
$y = ax^2 + bx + c = (-x^2+1+s^2)/(2s)$ の x 軸との共有点は $(\pm \sqrt{1+s^2}, 0)$ である。
\[A = \int_{-\sqrt{1+s^2}}^{\sqrt{1+s^2}} \frac{-x^2+1+s^2}{2s}dx = \frac{2(1+s^2)^{3/2}}{3s}\]言わせたいのは $2(1+s^2)^{3/2} \ge 3\sqrt{3}s$ である。パッと見た感じでは相加・相乗平均の関係は使えないように思えるので，伝家の宝刀の微分を使ってしまえ。
$s > 0$ であるため， $A \ge \sqrt{3}$ と $2(1+s^2)^{3/2} \ge 3\sqrt{3}s$ は同値である。
$f(s) := 2(1+s^2)^{3/2} - 3\sqrt{3}s$ と置き， $f(s) \ge 0$ を示す。
\[f'(s) = 6s\sqrt{1+s^2} - 3\sqrt{3}\]が成立する。これは明らかに単調増加であり，なおかつ $f’(1/\sqrt{2}) = 0$ であるため， $f(s)$ は $s < 1/\sqrt{2}$ で単調減少， $s > 1/\sqrt{2}$ で単調増加である。
この手の (一般には解き方が教えられていない方程式の) 問題で $f’(s) = 0$ という方程式が解けないことはまずない。適当な値を代入すれば見つかる。
$f(1/\sqrt{2}) = 2 \times(3/2)^{3/2} - 3\sqrt{3/2} = 0$ であるため， $f(s) \ge 0$ ($0 < s < 1$) が言える。
$2(1+s^2)^{3/2} \ge 3\sqrt{3}s$ を示すのだが，文系に微分をやらせるのはやりすぎだ。強引に相加・相乗平均の関係に持っていけるはず。
$s > 0$ であるため， $A \ge \sqrt{3}$ と $2(1+s^2)^{3/2} \ge 3\sqrt{3}s$ は同値である。
$s > 0$ であるため，この両辺を 2 乗した $4(1+s^2)^3 \ge 27s^2$ とも同値である。
ここで， $1/2, 1/2, s^2$ に対して相加・相乗平均の関係を使うと，
\[\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + s^2}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot s^2}\] \[1 + s^2 \ge 3\sqrt[3]{\frac{s^2}{4}}\]これを 3 乗して 4 倍すれば欲しい式になる。
Tweet今回は $A \ge \sqrt{3}$ を示せばよいので， $A = \sqrt{3}$ が実現される具体的な値を求める必要がないことに注意。なおそのような値は $1/2 = 1/2 = s^2$ が成立する $s=1/\sqrt{2}$ である。