以下の問いに答えよ。必要ならば， $0.3 < \log_{10} 2 < 0.31$ であることを用いてよい。
(1) $5^n > 10^{19}$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。
(2) $5^m + 4^m > 10^{19}$ となる最小の自然数 $m$ を求めよ。
$n = 28$ を示す。
$\log_{10} 5 \simeq 1 - 0.3 = 0.7$ である。 $19/0.7 \simeq 27.1$ なので，27 だと足りなくて 28 くらいだろう，という予想ができる。
$5^{28} > 10^{19}$ および $5^{27} \le 10^{19}$ が言えればよい。
$\log_{10} \left(\frac{5^{28}}{10^{19}}\right) = 28 \log_{10} 5 - 19 = 28 (1- \log_{10} 2) - 19 = 9 - 28\log_{10} 2 > 9 - 28 \times 0.31 = 9 - 8.68 = 0.32 > 0$
$\log_{10} \left(\frac{5^{27}}{10^{19}}\right) = 27 \log_{10} 5 - 19 = 27 (1- \log_{10} 2) - 19 = 8 - 27\log_{10} 2 < 8 - 27 \times 0.3 = 8 - 8.1 = -0.1 \le 0$
$m = 28$ を示す。
$m = 28$ くらいになれば $5^m$ に比べて $4^m$ は大した大きさではないだろう，といった直観が大切。
$5^{28} + 4^{28} > 10^{19}$ は先ほど示した $5^{28} > 10^{19}$ から明らか。 $5^{27} + 4^{27} \le 10^{19}$ を示す。
$\log_{10} \left(\frac{4^{27}}{10^{19}}\right) = 27 \log_{10} 4 - 19 = 27 (2\log_{10} 2) - 19 = 54\log_{10} 2 - 19 < 54 \times 0.31 - 19 = 16.74 - 19 = -2.26$ から， $4^{27} < 10^{-2} \times 10^{19}$ が言える。
案の定 2 桁も違った。さっき $5^{27} / 10^{19} < 10^{-0.1}$ という話が出たばかりで，多分 $10^{-0.1}$ なんて 0.8 くらいだろうから，二桁足りない $4^{27}$ が加わったところで焼け石に水であり，残り 2 割の差を埋めるには至らない。
(1) での議論から $5^{27} < 10^{-0.1} \times 10^{19}$ が言える。 $10^{-0.1} = 10^{-1} \times (10^{0.3})^3 < 10^{-1} \times 2^3 = 0.8$ であるため，以上から $5^{27} + 4^{27} < 0.8 \times 10^{19} + 0.01 \times 10^{19} = 0.81 \times 10^{19} \le 10^{19}$ が言える。
$ python
Python 3.12.8 (main, Dec 3 2024, 18:42:41) [Clang 16.0.0 (clang-1600.0.26.4)] on darwin
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> 5**27 / 10**19
0.7450580596923828
>>> 4**27 / 10**19
0.0018014398509481984
Tweetこの手の問題は実際の値に結構余裕があることが多いので，多少どんぶり勘定をしたりする分には問題ない。