座標平面上に 2 点 $\mathrm{O}(0, 0), \mathrm{A}(0, 1)$ をとる。 $x$ 軸上の 2 点 $\mathrm{P}(p, 0), \mathrm{Q}(q, 0)$ が，次の条件 (i)(ii) をともに満たすとする。
(1) $q$ を $p$ を用いて表せ。
(2) $q = \frac{1}{3}$ となる $p$ の値を求めよ。
(3) $\triangle \mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{P}$ の面積を $S$， $\triangle \mathrm{P}\mathrm{M}\mathrm{Q}$ の面積を $T$ とする。 $S>T$ となる $p$ の範囲を求めよ。
$\angle \mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{P} = \theta$ と置くと $p = \tan \theta$ で $q = (\tan\theta + \tan 2\theta)/2$ だ。 tan の倍角公式は tan だけで完結するという便利な性質があったので，これを使わない手はない。
$\angle \mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{P} = \theta$ と置く。このとき $p = \tan \theta$ で $q = (\tan\theta + \tan 2\theta)/2$ である。
\[\tan 2 \theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\]という倍角の公式を思い出すと，
\[q = \frac{p + \frac{2p}{1-p^2}}{2} = \frac{3p - p^3}{2(1 - p^2)}\]が言える。
$\tan \theta=2$ のとき $\tan 2\theta = 2 \cdot 2/(1-2^2) = -4/3$ だから $(\tan\theta + \tan 2\theta)/2 = (4-4/3)/2 = 1/3$ である。そのため $p = 2$ は仮想的な「解」の一つであり，これを利用して 3 次方程式を 2 次式と 1 次式に因数分解できる。
$3(3p - p^3) = 2(1-p^2)$ を満たす $0 < p < q$ が求まればよい。移項して整理すると $3p^3 - 2p^2 - 9p + 2 = 0$ となる。
因数分解すると $(p-2)(3p^2 + 4p - 1) = 0$ となる。前半部分の解 $p=2$ は不適切なので， $3p^2 + 4p - 1 = 0$ を解く。これの解は
\[p = \frac{-2\pm \sqrt{7}}{3}\]である。このうちマイナスの方はあきらかに 0 より小さいので不適切。プラスの方は 0 よりは大きく， $\sqrt{7} < 3$ から $-2 + \sqrt{7} < 1$ も言えるため $q$ 未満でもある。よって
\[p = \frac{-2 + \sqrt{7}}{3}\]が求める解である。
$S:T = p : (q-p)/2$ である。 $p - (q-p)/2 > 0$ なのだから $q < 3p$ となるような $p$ の範囲が欲しい。
$S = p/2$ (底辺が $\mathrm{O}\mathrm{P} = p$ で高さが $1$) で $T = (q - p) / 4$ (底辺が $\mathrm{P}\mathrm{Q} = q - p$ で高さが $1/2$) である。 $S>T$ と $q < 3p$ が同値である。
(2) よりこれは $3p - p^3 < 6p - 6p^3$ と同値。これは $5p^3 - 3p < 0$ と同値。
3 次式のグラフが描ければ $0 < p < \sqrt{3/5}$ はほぼ明らか。文系の範囲だとグラフは描けないはずなので式変形で頑張る。
$p > 0$ なので $p$ で両辺を割った $5p^2 - 3 < 0$ と同値。これの解は $-\sqrt{3/5} < p < \sqrt{3/5}$ だが， $p > 0$ という条件があったため，求める解は $0 < p < \sqrt{3/5}$ である。
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