$n$ を 5 以上の奇数とする。平面上の点 O を中心とする円をとり，それに内接する正 $n$ 角形を考える。 $n$ 個の頂点から異なる 4 点を同時に選ぶ。ただし，どの 4 点も等確率で選ばれるものとする。選んだ 4 点を頂点とする四角形が O を内部に含む確率 $p_n$ を求めよ。
異なる 4 点の選び方は明らかに ${} _ nC_4$ 通りである。4 点を選んだ時にそれらを頂点とする四角形が O を内部に含まない場合の数を $A_n$ とおけば，
\[p_n = 1 - \frac{A _ n}{ {} _ nC _ 4}\]である。
$A_n$ を求める。 $A_n$ の代わりに，条件を満たすような四角形と，そのうちの一つの頂点と O を繋ぐ直線であって四角形の内部を通らないものの組の総数を考えることにする。四角形に着目すると，一つの頂点と O を繋ぐ直線であって四角形の内部を通らないものはちょうど 2 個であるため，総数は $2A_n$ である。一方直線の方に着目すると， ($n$ が奇数であることに注意すると) 直線の片側には正 $n$ 角形の頂点は直線が通る頂点を除いて $(n-1)/2$ 個の頂点があり，その中に四角形の残り 3 個の頂点があることになる。その総数は $2n \times {} _ {(n-1)/2}C_3$ である。よってこれら二つの値が等しいため， $A_n = n {} _ {(n-1)/2}C_3$ である。
\[\frac{A_n}{ {}_nC_4}=\frac{n(n-1)(n-3)(n-5)}{6 \times 2^3} \cdot \frac{24}{n(n-1)(n-2)(n-3)} = \frac{n-5}{2(n-2)}\]であるから、
\[p_n = 1 - \frac{n-5}{2(n-2)} = \frac{n+1}{2(n-2)}\]が結論できる。
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