次の関数 $f(x)$ を考える。
\[f(x) = \int_0^1 \frac{|t-x|}{1+t^2}dt \qquad (0 \leqq x \leqq 1)\](1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ を満たす実数 $\alpha$ で， $f’(\tan \alpha) = 0$ となるものを求めよ。
(2) (1) で求めた $\alpha$ に対し，$\tan \alpha$ の値を求めよ。
(3) 関数 $f(x)$ の区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における最大値と最小値を求めよ。必要ならば， $0.69 < \log 2 < 0.7$ であることを用いてよい。
\[f(x) = \int_0^x \frac{x-t}{1+t^2}dt + \int_x^1 \frac{t-x}{1+t^2}dt\]\[\begin{align*} f(x) &= \int_0^x \frac{x-t}{1+t^2}dt + \int_x^1 \frac{t-x}{1+t^2}dt \\ &= x\left(\int_0^x \frac{1}{1+t^2}dt - \int_x^1 \frac{1}{1+t^2}dt\right) -\int_0^x \frac{t}{1+t^2}dt + \int_x^1 \frac{t}{1+t^2}dt \end{align*}\]だから微分は容易い。
であるため，この式の括弧の中身を $g(x)$ と置くと，
\[f'(x) = xg'(x) + g(x) - \frac{2x}{1+x^2}\]である。 $g’(x) = 2/(1+x^2)$ であるから，結局
\[f'(x) = g(x)\]である。
$g(x) = 2\mathop{\mathrm{Arctan}} x - \pi/4$ だから，いかにも $x = \tan (\pi/8)$ が答えになりそうだ。
$t = \tan \theta$ という置換積分を行うと， $g(\tan \alpha) = 2 \alpha - \pi/4$ が結論できる。これが 0 になるのは $\alpha = \pi/8$ のときである。
$t = \tan\alpha$ と置く。 $\tan$ の倍角公式
\[\tan 2\alpha = \frac{2t}{1-t^2}\]を使おう。明らかに $\tan 2\alpha = \tan (\pi/4) = 1$ が成り立つため，方程式 $2t = 1 - t^2$ を解けばよい。これの解は
\[t = -1\pm \sqrt{2}\]であるが， $0 < \alpha < \pi/4$ から $0 < t < 1$ が成り立つため，適切なものは $t = -1 + \sqrt{2}$ である。
よって， $\tan \alpha = -1 + \sqrt{2}$ である。
(1) で $f’(\tan \theta) = 2\theta - \pi/4$ を言った。これは $0 \le \theta \le \pi/8$ で 0 以下， $\pi/8\le \theta \le \pi/4$ で 0 以上なので， $f(\tan \theta)$ は $\theta = \pi/8$ で最小値を取る。 $\theta = 0$ と $\theta = \pi/4$ のどちらで最大値を取るかはギャンブルだ。
$x = \tan \theta \ (0 \le \theta \le \pi/4)$ と置く。(1) での議論から， $f’(\tan \theta) = 2\theta - \pi/4$ が結論できる。
以上から， $f(x)$ の最小値は (少なくとも) $x = \tan(\pi/8)$ において実現される。$t = \tan \theta$ という置換積分を行うと，
\[\begin{align*} f(\tan(\pi/8)) &= \int_0^{\pi/4} \frac{|\tan \theta - \tan(\pi/8)|}{1 + \tan^2\theta} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_0^{\pi/4} |\tan \theta - \tan(\pi/8)|d\theta \\ &= -\int_0^{\pi/8} (\tan \theta - \tan(\pi/8))d\theta + \int_{\pi/8}^{\pi/4} (\tan \theta - \tan(\pi/8))d\theta \\ &= -[-\ln \cos\theta - \tan(\pi/8)]_{0}^{\pi/8} + [-\ln \cos\theta - \tan(\pi/8)]_{\pi/8}^{\pi/4} \\ &= 2\ln \cos(\pi/8) + \ln{\sqrt{2}} = \ln (\sqrt{2}\cos^2(\pi/8)) \\ &= \ln \frac{\sqrt{2}(1+\cos(\pi/4))}{2} = \ln \frac{1+\sqrt{2}}{2} \end{align*}\]が言えるため，これが最小値である。
また，最大値は $f(0)$ または $f(1)$ である。$t = \tan \theta$ という置換積分を行うと，
\[\begin{align*} f(0) &= \int_0^{\pi/4} \frac{\tan \theta}{1 + \tan^2\theta} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_0^{\pi/4} \tan \theta d\theta \\ &= [-\ln\cos\theta]_0^{\pi/4} = \ln\sqrt{2} \end{align*}\] \[\begin{align*} f(1) &= \int_0^{\pi/4} \frac{1-\tan \theta}{1 + \tan^2\theta} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_0^{\pi/4} (1-\tan \theta)d\theta \\ &= [\theta+\ln\cos\theta]_0^{\pi/4} = \pi/4-\ln\sqrt{2} \end{align*}\]が言える。ここで， $4(f(0) - f(1)) = 4(2\ln\sqrt{2} - \pi/4) = 4\ln 2 - \pi$ だが， $4\ln 2 < 4 \times 0.7 = 2.8$ と $\pi > 3$ から，この値は負である。
よって $f(0) < f(1)$ であることがわかるので，最大値は $f(1) = \pi/4 - \ln\sqrt{2}$ である。
Tweet