座標平面上を次の規則 (i), (ii) に従って 1 秒ごとに動く点 P を考える。
(i) 最初に， P は点 (2, 1) にいる。
(ii) ある時刻で P が点 $(a, b)$ にいるとき，その 1 秒後には P は
にいる。
以下の問いに答えよ。ただし，(1) については，結論のみを書けばよい。
(1) P がとりうる点の座標を全て求めよ。
(2) $n$ を正の整数とする。最初から $n$ 秒後に P が点 (2, 1) にいる確率と，最初から $n$ 秒後に P が点 (-2, -1) にいる確率は等しいことを示せ。
(3) $n$ を正の整数とする。最初から $n$ 秒後に P が点 (2, 1) にいる確率を求めよ。
$(\pm 2, \pm 1), (\pm 1, \pm 2)$ の 8 通り。ただし複号は任意である。
1 秒ごとの動きを実現する写像を，問題文で与えられている順番に $f_1, f_2, f_3, f_4$ と呼ぼう。つまり，
とする。
ここで， 点 $(x, y)$ に対して点 $(-x, -y)$ を対応させる写像を $g$ と置くと，
\[g(f_1(x, y)) = f_2(x, y)\] \[g(f_3(x, y)) = f_4(x, y)\]が成り立つ。そのため，点が動いた後，動く前の確率分布がどのようなものであっても，点 $(x, y)$ に P がいる確率が $p$ とすれば，点 $(-x, -y) = g(x, y)$ に P がいる確率も $p$ であることに注意しよう。
よって， $n \ge 1$ であれば $n$ 秒後に P が点 (2, 1) にいる確率と点 (-2, -1) にいる確率は等しい。
180°回転しても同じということがわかった。つまり複素平面上で -1 倍を同一視するのと変わらないので，2 乗したらすっきりしそう。 $(x+yi)^2 = (x^2-y^2)+2xyi$ なので， $(x, y)$ を $(u, v) = (x^2-y^2, 2xy)$ に写したい。そうすれば，(2, 1) は (3, 4) に写り，状態遷移のときに確率 2/3 で $(u, v)$ は $(x^2-y^2, -2xy) = (u, -v)$ に，確率 1/3 で $(y^2-x^2, 2xy)=(-u, v)$ に移動する。
点 P に連動して以下のように動く点 Q を考える。
$h(a, b) = (a^2-b^2,2ab) = (u,v)$ と置くと，
が成立する。よって， uv-平面での Q の動きを考えると，確率 2/3 で v 座標が -1 倍に，確率 1/3 で u 座標が -1 倍になることになる。
P が点 (2, 1) にいるとき Q は点 (3, 4) にいる。 (2) での結論から， Q が (3, 4) にいる確率のちょうど半分が P が点 (2, 1) にいる確率である。 ($(a^2-b^2, 2ab)=(3,4)$ のとき $(a, b) = (2, 1), (-2, -1)$ に注意。) 以降 $n$ 秒後に Q が点 (3, 4) にいる確率を $p_n$ と置く。
初期状態から見て u も v も -1 倍になった回数が偶数である必要があるため， $n$ が奇数のときは $p_n = 0$ である。また，$n$ が偶数のとき， $n = 2k$ ($k$ は正の整数) と置くと，u も v も -1 倍になった回数が偶数である確率は
\[\begin{align*} p_n&=\sum_{i = 0}^{k} {}_{n}C_{2i} \left(\frac{2}{3}\right)^{2i} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-2i} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{i = 0}^{n} {}_{n}C_{i} \left(\frac{2}{3}\right)^{i} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-i}(1+(-1)^i) \\ &= \frac{1}{2}\left(\sum_{i = 0}^{n} {}_{n}C_{i} \left(\frac{2}{3}\right)^{i} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-i} + \sum_{i = 0}^{n} {}_{n}C_{i} \left(-\frac{2}{3}\right)^{i} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-i}\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(1^n + \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{3^n}\right) \end{align*}\]である。
よって，求めるべき値は，
\[\begin{equation*} \frac{1}{2}p_n = \left\{ \, \begin{aligned} & \frac{1}{4}\left(1 + \frac{1}{3^n}\right) & (\text{$n$ が偶数のとき})\\ & 0 & (\text{$n$ が奇数のとき}) \end{aligned} \right. \end{equation*}\]である。
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