この問いでは，0 以上の整数の 2 乗になる数を平方数と呼ぶ。$a$ を正の整数とし，
\[f_a(x)=x^2+x-a\]とおく。
(1) $n$ を正の整数とする。$f_a(n)$ が平方数ならば，$n \le a$ であることを示せ。
(2) $f_a(n)$ が平方数となる正の整数 $n$ の個数を $N_a$ とおく。次の条件 (i), (ii) が同値であることを示せ。
(i) $N_a=1$ である。
(ii) $4a+1$ は素数である。
こういうのは隣接する平方数で挟むのが典型。$n>a$ と仮定すると，$f_a(n)$ は $n^2$ と $(n+1)^2$ の間に入りそうだ。
$n>a$ と仮定する。このとき $n-a>0$ であるため，
\[f_a(n)=n^2+n-a>n^2\]である。一方，
\[(n+1)^2-f_a(n)=n+a+1>0\]であるため，
\[f_a(n)<(n+1)^2\]である。よって
\[n^2<f_a(n)<(n+1)^2\]となるので，$f_a(n)$ は平方数ではない。
したがって，$f_a(n)$ が平方数ならば $n\le a$ である。
(2 次式) = (平方数) であれば，2 次式を平方完成して移項して因数分解するのが典型。今回は $\left(n+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{4a+1}{4}=b^2$ となるので，$4$ 倍して整理すると $(2n+1-2b)(2n+1+2b)=4a+1$ という形になる。$4a+1$ の素数性が絡むのは明らか。
とはいえ左辺は奇数 × 奇数に限定されるし，本当にすべての奇数の約数の組と対応するかも自明ではないので，そこを論証する必要がある。だるい。
$f_a(n)$ が平方数であるとする。すなわち，0 以上の整数 $b$ が存在して
\[n^2+n-a=b^2\]となる。これは
\[\left(n+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{4a+1}{4}=b^2\]と同値である。$4$ 倍して整理すると
\[(2n+1-2b)(2n+1+2b)=4a+1\]である。
ここで
\[b^2=n^2+n-a<\left(n+\frac{1}{2}\right)^2\]であるため，$b<n+\dfrac{1}{2}$ である。$b,n$ は整数なので $b\le n$ である。よって $2n+1-2b$ は正の奇数である。
したがって，$f_a(n)$ が平方数となる正の整数 $n$ から，正の奇数の組
\[(u,v)=(2n+1-2b,\,2n+1+2b)\]であって
\[uv=4a+1,\quad u\le v\]を得る。
逆に，正の奇数 $u,v$ が
\[uv=4a+1,\quad u\le v\]を満たすとする。$4a+1\equiv 1 \pmod 4$ であるため，$u\equiv v\equiv 1 \pmod 4$ または $u\equiv v\equiv 3 \pmod 4$ である。よって
\[n=\frac{u+v-2}{4},\quad b=\frac{v-u}{4}\]は整数である。また $uv=4a+1>1$ なので $v>1$ であり，$u\ge 1$ と合わせて
\[n=\frac{u+v-2}{4}>\frac{1+1-2}{4}=0\]である。よって $n$ は正の整数である。このとき
\[\begin{aligned} (2n+1)^2-(2b)^2 &=\left(\frac{u+v}{2}\right)^2-\left(\frac{v-u}{2}\right)^2 \\ &=uv \\ &=4a+1 \end{aligned}\]であり，したがって
\[n^2+n-a=b^2\]である。つまり $f_a(n)$ は平方数である。
また $4a+1$ は奇数なので，その正の約数はすべて奇数である。以上から，$N_a$ は $4a+1$ の正の約数の組 $(u,v)$ で
\[uv=4a+1,\quad u\le v\]を満たすものの個数に等しい。
まず $4a+1$ が素数であるとする。このとき正の約数の組は
\[(1,4a+1)\]のみである。よって $N_a=1$ である。
逆に $4a+1$ が素数でないとする。$4a+1>1$ であるから，$4a+1$ は合成数である。したがって，$(1,4a+1)$ とは異なる正の約数の組がある。よって正の約数の組は 2 個以上あり，$N_a\ne 1$ である。
以上により，
\[N_a=1 \Longleftrightarrow 4a+1 \text{ は素数}\]である。
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