$n$を正の整数とする。$n$の正の約数のうち，3で割って1余るものの個数を$f(n)$， 3で割って2余るものの個数を$g(n)$とする。
(1) $f(2800), \, g(2800)$を求めよ。
(2) $f(n) \geqq g(n)$を示せ。
(3) $g(n)=15$であるとき，$f(n)$がとりうる値を求めよ。
$2800 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 7$ であるため、 $2800$ の正の約数は $2^a \cdot 5^b \cdot 7^c$ ($0 \le a \le 4, 0 \le b \le 2, 0 \le c \le 1$，$a,b,c$ は整数) と表せる。
これが3で割って1余るのは $a+b$ が偶数であることと同値であり、3で割って2余るのは $a+b$ が奇数であることと同値。 $a+b$ が偶数であるような $(a,b)$ は8通りあり、奇数であるような $(a,b)$ は7通りある。$c$ は2通りなので、
\[f(2800) = 8 \cdot 2 = 16, \quad g(2800) = 7 \cdot 2 = 14\](1) での議論から、 $a$ に当たるものとしては偶数の方が常に奇数以上である。 (偶数は 0,2,4 の3通り、奇数は1,3の2通り、など。) この調子なら常に偶数は奇数以上であることを期待したいが、全く自明ではないため証明する必要がある。