任意の実数$a,b,x,y$に対して、
\[(a^2 + b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2 \tag{1}\]が成り立つ。この不等式において、等号が成り立つことと、$ay = bx$ は同値である。
また、6変数以上の時も同様で、任意の正の整数 $n$ と任意の実数 $a_1, \ldots, a_n, b_1,\ldots, b _ n$ に対し，
\[\left(\sum_{1 \le i \le n} a_i^2\right) \left(\sum_{1 \le i \le n} b_i^2\right) \ge \left(\sum_{1 \le i \le n} a_ib_i\right)^2 \tag{2}\]が成り立つ。また、別の表し方としてベクトルを使うと、
\[\left|\begin{pmatrix} a _ 1 \\ a _ 2 \\ \vdots \end{pmatrix}\right|^2\left|\begin{pmatrix} b _ 1 \\ b _ 2 \\ \vdots \end{pmatrix}\right|^2 \ge \left(\begin{pmatrix} a _ 1 \\ a _ 2 \\ \vdots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b _ 1 \\ b _ 2 \\ \vdots \end{pmatrix} \right)^2\]と表すこともできる。
この不等式において、等号が成り立つことと、ある実数 $(s, t) \neq (0, 0)$ が存在して任意の $i$ に対して $sa_i = tb_i$ であることは同値である。
$x + 4y = 6$ のとき、 $(1^2 + 4^2)(x^2 + y^2) \ge (x + 4y)^2 = 36$ であるため、 $x^2 + y^2 \ge \dfrac{36}{17}$ である。等号成立は $4x = y$ と、つまり $(x, y) = \left(\dfrac{6}{17}, \dfrac{24}{17}\right)$ と同値である。
よって、$x^2 + y^2$ の最小値は $\dfrac{36}{17}$ である。
の方を証明する。 $x$ の (高々) 2次の式 $T(x) = \sum_{1 \le i \le n} (a_ix - b_i)^2$ を考えよう。
常に $T(x) \ge 0$ である。これは常に $(a_ix - b_i)^2 \ge 0$ が成立することから明らか。
$T(x)$ を展開すると
\[T(x) = \left(\sum_{1 \le i \le n} a_i^2\right)x^2 - 2\left(\sum_{1 \le i \le n} a_ib_i\right) x + \sum_{1 \le i \le n} b_i^2\]である。 $\sum_{1 \le i \le n} a_i^2 \ne 0$ であれば、これは2次式であり、判別式を4で割ったものは
\[\left(\sum_{1 \le i \le n} a_ib_i\right)^2 - \left(\sum_{1 \le i \le n} a_i^2\right) \left(\sum_{1 \le i \le n} b_i^2\right)\]である。
(i)(ii) から、$\sum_{1 \le i \le n} a_i^2 \ne 0$ である場合は判別式が 0 以下であることがわかる。つまり
\[\left(\sum_{1 \le i \le n} a_i^2\right) \left(\sum_{1 \le i \le n} b_i^2\right) \ge \left(\sum_{1 \le i \le n} a_ib_i\right)^2\]が成り立つ。等号が成り立つことと判別式が 0 であることは同値であり、これはすべての $i$ に対して $a_ix - b_i = 0$ となる $x$ が存在することと同値。ある実数 $(s, t) \neq (0, 0)$ が存在して任意の $i$ に対して $sa_i = tb_i$ であることとも同値である。
$\sum_{1 \le i \le n} a_i^2 = 0$ のとき、すべての $i$ に対して $a_i = 0$ である。 このとき (2) は $0 = 0$ となり自明。 $a_i = 0$ だから $(s, t) = (1, 0)$ とすれば $sa_i = tb_i$ も常に成り立つ。
Qed.
w の文字は /v/ と発音される。